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LOGICA/ Dio esiste? Anche la matematica dice di sì...

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Con la teoria degli insiemi si incominciano a scoprire, un po’ alla volta, una serie di paradossi che sembrano minare seriamente questa, per altro affascinante, idea di ampliare l’oggetto della matematica dal solo campo dei numeri e del calcolo simbolico al più vasto mondo delle collezioni di oggetti di qualsiasi natura (insiemi e classi) mettendo a punto una sorta di “ontologia” simbolica per queste entità. Con i teoremi di Gödel, (1) di incompletezza e (2) sulla indecidibilità delle coerenza viene dimostrata l’esistenza di proposizioni formalmente “indecidibili” all’interno di un sistema assiomatico sufficientemente complesso come quello dei Principia Mathetatica di Russell e Whitehead. Un risultato che sarà esteso successivamente a tutti linguaggi in cui si possano formulare enunciati autoreferenziali e che sembra comportare un inevitabile “regresso all’infinito”.

 

Da che cosa dipende l’insorgere di questi paradossi e dell’indecidibilità? È possibile superarli e come? Russell arrivò a rispondere alla prima domanda con la sua “teoria dei tipi” e Gödel, in una maniera ancora più semplice ed elegante, con la distinzione tra “classi proprie” e “classi improprie”. Senza esserne consapevoli avevano riscoperto nel contesto della moderna teoria assiomatica una forma di quella che per Aristotele e Tommaso era l’“analogia dell’ente” (analogia entis).

 

Alla seconda domanda sulla questione della decidibilità sembra che i matematici stiano arrivando in tempi ancora più vicini a noi tornando a rivolgersi alla realtà extramentale alla quale si attinge decidendo mediante l’“esperienza”. Alcuni tra loro, infatti, hanno notato come «i paradossi dell’autoriferimento sono noti da millenni. I teoremi di Gödel ci costringono a vederne il loro lato positivo, mostrandoci che la contraddizione nasce solo se ci si appiattisce ad un unico [univocità] livello di astrazione» (G. Sambin, “Incompletezza costruttiva”, in G. Lolli, U. Pagallo, La complessità di Gödel, Giappichielli Editore, Torino 2008, p. 125-142). E anche: «A mio giudizio [...] i moderni risultati sull’incompletezza [...] spingono nella direzione di una prospettiva “quasi empirica” della matematica» (G.J. Chatin, “L’incompletezza è un problema serio?”, in Lolli/Pagallo, p. 68).

 

Per ovvi motivi non è il caso di entrare qui nei dettagli tecnici, ma quanto detto dovrebbe essere sufficiente a mostrare che si tratta di un problema che nasce dall’interno della scienza come un problema scientifico. Un problema che riscopre in chiave logico-matematica qualcosa che era già bene noto ai greci e ai medievali: quello della “non univocità dell’ente”.

 

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