BENVENUTO   |   Login   |   Registrati   |
Imposta Come Homepage   |   Ricerca Avanzata  CERCA  

IDEE/ "Non si può dedurre tutto": così il calcolo sfida la ragione

Pubblicazione:

Henri Poincaré (1854-1912) (Foto: lexpress.fr)  Henri Poincaré (1854-1912) (Foto: lexpress.fr)

Ma la sua ripulsa del dogmatismo gli faceva aggiungere che «i quadri non si prestano sempre ad essere piegati». È su questo crinale sottile e instabile tra tradizione e innovazione che Poincaré si muove nella sua conferenza dal titolo significativo “Sul ruolo dell’intuizione e della logica in matematica”. Egli non disconosce il valore dell’approccio assiomatico e del rigore logico. Nel suo discorso dichiara senza mezzi termini che «l’intuizione non può darci il rigore e neanche la certezza», i quali possono essere garantiti soltanto dal ragionamento logico, mentre l’intuizione può ingannare. Pertanto, oggi, dichiara Poincaré «il rigore assoluto è stato raggiunto». Fin qui egli sembrerebbe andare d’accordo con Hilbert. Ma egli si chiede se quanto precede significa che la matematica sia riducibile alla logica. E qui la risposta è radicalmente opposta a quella di Hilbert: «La logica pura condurrebbe soltanto a tautologie; essa non può creare nulla di nuovo; da essa soltanto non può uscire alcuna scienza».

Insomma, è bene che la logica controlli ex post la validità delle deduzioni matematiche, ma la matematica non è logica. E, per dimostrarlo, Poincaré esemplifica quattro modi di ragionamento matematico di cui soltanto il primo è riconducibile alla logica deduttiva: l’affermazione che due quantità uguali a una terza sono uguali tra di loro; il principio di induzione matematica che è un classico caso di giudizio sintetico a priori, in senso kantiano; due assiomi geometrici, di cui l’uno si giustifica con l’appello all’intuizione e l’altro è una definizione mascherata. La matematica lavora con materiali siffatti, che vanno molto oltre la logica formale, e senza di essi non esisterebbe e non sarebbe neppure utile e sensata. Chi ha avuto ragione, alla luce degli sviluppi storici, tra Hilbert e Poincaré?

Di certo, la visione intuizionista del secondo è stata sconfitta sul breve periodo, il dominio dell’assiomatica si è esteso incontrastato e Hilbert ha proposto un modo di fare scienza basato sull’organizzazione metodica della ricerca ben più produttivo dell’individualismo dello scienziato francese, il quale fu superiore a Hilbert come matematico ma non lasciò una scuola. Oggi lo studio qualitativo delle equazioni differenziali mediante il computer costituisce una realizzazione di un programma di Poincaré da lui intuito a fine Ottocento con carta e penna. Scoprì fenomeni come quello del “caos deterministico” quasi un secolo prima che se ne constatasse il rilievo nella matematica applicata (per esempio, in meteorologia).

Ma se Poincaré restò un isolato, senza allievi e senza scuola, il programma logicista di Hilbert fu pesantemente sconfitto non soltanto dalla dimostrazione del teorema di Gödel che seppellì per sempre la speranza di ridurre la matematica alla logica, ma dal declino sul campo della pratica assiomatica nella ricerca, verificatosi dopo gli anni 1980. 



< PAG. PREC.   PAG. SUCC. >