MATEMATICA/ Il teorema di Pitagora “sbocciato” nel quaderno di Caterina

“Il nostro mondo è già stato matematizzato a un tale livello che noi non ce ne accorgiamo neppure più, a meno che la nostra attenzione non sia attirata su questo fatto”. È l’acuta osservazione del matematico tedesco-olandese Hans Freudenthal, che può avere una notevole ricaduta in campo scolastico. E a tradurla in metodo e strumento di educazione ci ha pensato Andrea Gorini, docente di matematica nella scuola secondaria di primo grado, nel nuovo libro di testo, dal titolo accattivante “Matematica a sorpresa” (Principato, 2011), che ha tra i suoi punti di forza proprio quello delle immagini: «una scelta – dice l’autore – che vuole significare: guardati attorno, c’è molta matematica da scoprire».

Ma lo spunto che ha innescato l’impresa del nuovo testo è ancor più interessante; è lo stesso Gorini a raccontarlo così: «Una mattina di febbraio dell’anno in cui per la prima volta insegnavo in una seconda media ho assegnato alla classe l’esercizio di disegnare un quadrato con l’estensione doppia di quella di un quadrato assegnato, prima di aver affrontato il teorema di Pitagora. L’intento era di tener occupata la maggior parte degli alunni con un problema complesso per avere la possibilità di lavorare con i ragazzi che avevano bisogno di rivedere il lavoro sulle aree. Dopo aver “cacciato” chi si era presentato con un quadrato di lato doppio, invitandolo a riflettere sul proprio disegno, ero sicuro di avere a disposizione il tempo necessario per il lavoro programmato. Invece, dopo qualche istante, si presenta alla cattedra una ragazzina che mi dice: “Penso di averlo trovato” e mi presenta sul quaderno due disegni cosi fatti.

Alla mia domanda: “Come hai fatto?”, risponde: “Ho tracciato le diagonali e… l’ho visto sbocciare!” Per la prima volta vedevo attraverso gli occhi di Caterina la costruzione di un quadrato di area doppia senza usare il teorema di Pitagora e per la prima volta vedevo espresso un concetto matematico in maniera efficace senza essere tecnica. La mia richiesta successiva fu di mettere per iscritto il procedimento e la spiegazione del motivo per cui la figura ottenuta secondo questa suggestiva visione fosse effettivamente un quadrato, e perché si poteva esser certi che l’area del secondo quadrato fosse proprio doppia di quello del primo e quale fosse il legame tra il quadrato originario e il lato del secondo quadrato».

Questa soluzione “a sorpresa” del problema proposto ha aperto a Gorini una nuova prospettiva: la grande ricchezza anche della matematica elementare e la possibilità della sua scoperta da parte di ragazzi al limitare dell’adolescenza. È stato l’inizio di un’avventura, tutt’ora in corso: andare a fondo degli aspetti elementari della matematica, l’aritmetica dei numeri naturali, la geometria piana e solida, che non è così elementare, riscoperti con i ragazzi, investendo sulla loro capacità di vedere e riconoscere, capire e spiegare, magari non in maniera formalmente corretta, ma sostanzialmente precisa.

A poco a poco domande dello stesso tenore della precedente sono diventate frequenti nelle lezioni e hanno orientato tutto il lavoro didattico: «L’ardire mi spingeva a proporre quesiti complessi per i ragazzi, lasciando loro il tempo di riflettere, provare, verificare, sbagliare, correggersi; con l’attenzione di intervenire in un secondo momento con un suggerimento o una spiegazione qualora non si arrivasse in fondo. Avevo visto nascere concetti e procedure dall’impegno serio di quei ragazzi, serio come può essere l’impegno di un ragazzo che si mette a seguire con fiducia l’indicazione di chi ne sa un po’ più di lui. Il mio impegno invece venne rivolto a escogitare situazioni che potevano essere proposte come ambito di ricerca affinché gli alunni potessero scoprire i concetti che dichiaravo negli obiettivi didattici e a ragionare con loro, a sistemare le loro intuizioni e a sistematizzare tutto il lavoro in un percorso».

Lezione dopo lezione Gorini raccoglie le osservazioni, gli esercizi, le attività che in qualche misura avevano permesso lo scatenarsi della creatività dei suoi alunni, e anche le osservazioni, gli esercizi, le attività, le spiegazioni che invece ne mortificavano l’intelligenza. Così, anno dopo anno ripropone le une e le altre per vedere quali effettivamente erano efficaci e quali invece da evitare. Pian piano si è accumulata una buona quantità di osservazioni, esercizi e attività verificate sul campo che hanno costituito l’ossatura del testo e ne hanno orientato la stesura.

«Guardiamoci attorno – dice Gorini ai suoi ragazzi – ci sono case, strade, ponti, canali, ma anche filari di alberi, fiori in primavera, corsi d’acqua. Con l’aiuto della matematica gli uomini hanno potuto trovare le leggi che regolano i fenomeni naturali e hanno potuto progettare e realizzare utensili, macchine, costruzioni. Nel suo sviluppo storico la matematica si è strutturata come una disciplina rigorosa, in grado di attestare con certezza le proprie affermazioni».

La matematica nasce quindi innanzitutto da uno sguardo sulle cose, carico della curiosità di scoprire come sono fatte, dalla necessità di creare un linguaggio e un sistema di simboli che permetta di descriverne in maniera efficace le caratteristiche materiali. Ecco allora la sorpresa. E un percorso per accompagnare gli studenti alla scoperta, attraverso i numeri e le loro applicazioni, la geometria, le relazioni … e poi domande e problemi per “fare matematica”.

E tante immagini. Applicando il suggerimento di Freudenthal: “È sbagliato guardare al contesto come ad un rumore che disturba il messaggio chiaro della matematica: il contesto è il messaggio e la matematica è lo strumento per decodificarlo”.

(a cura di Mario Gargantini)





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