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MATEMATICA/ Nelson: ecco su cosa si appoggiano le nostre certezze

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In altri termini la giustificazione delle teorie matematiche può avvenire tramite sistemi formali all’interno dei quali i simboli siano manipolati in base a regole sintattiche rigorosamente specificate. Una formula, una espressione è una mera sequenza di simboli. Niente deve essere utilizzato se non specificato dagli assiomi e dalle regole logiche di manipolazione. Gli assiomi sono semplicemente delle proposizioni da mettere all’inizio della catena deduttiva di una teoria. I teoremi o le proposizioni sono ottenuti dalle concatenazioni ammissibili di simboli: queste concatenazioni formano la dimostrazione del teorema.

Tutto deve essere ovviamente esplicitato: assiomi, concetti primitivi, regole di deduzione e nessuna proposizione può essere accettata se non viene rigorosamente dedotta dagli assiomi.

 

Nelson fornisce l’esempio cardine dell’aritmetica di Giuseppe Peano costruita nell’Ottocento quale metodo per poter ragionare sull’infinità dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano sono: 0 è un numero, ogni numero ha un successore; 0 non è il successore di nessun numero; due numeri diversi hanno successori diversi; il “principio di induzione” (se una proprietà è vera per 0, e se è vera per il successore di ogni numero, allora la proprietà è vera per ogni numero. Quale è la proprietà essenziale di un tale sistema (e di sistemi formali analoghi)?

Nelson la riprende più volte: la consistenza o coerenza). In altri termini la teoria non deve avere contraddizioni al proprio interno, ovvero, non si può provare contemporaneamente la verità e la falsità di qualche proposizione.

 

Risulta chiaro, per esempio, che la consistenza degli assiomi di Peano porrebbe basi solide all’aritmetica. A questo punto entrano in scena i celebri Teoremi di Gödel che toccano il cuore della questione. Il primo Teorema di incompletezza di Gödel afferma essenzialmente che se l’aritmetica di Peano è un sistema coerente, allora essa è certamente incompleta, cioè: alcune fra le asserzioni oggetto della teoria non sono né dimostrabili né refutabili a partire dagli assiomi della teoria stessa. Nelson sottolinea che anche in matematica la verità di una proposizione non dipende dalla sua dimostrabilità e fornisce un esempio.

 

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