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IL PUNTO/ Archimede, 2300 anni portati con eleganza

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Si tratta di problemi difficili perché, ad esempio, una figura piana a contorni curvilinei, come un cerchio o un segmento di parabola, non si può ricoprire con un numero finito di quadratini “unità di misura”, né si può scomporre in un numero finito di triangoli o altri poligoni di cui si possa poi calcolare l’area con metodi elementari: è necessario utilizzare qualche tipo di procedimento almeno potenzialmente infinito.

Ad esempio, per calcolare l’area di un segmento di parabola Archimede mostra come si possa inscrivere dentro questa figura una successione di triangoli sempre più piccoli e a due a due disgiunti, di aree calcolabili esattamente. Ora, per ricoprire esattamente l’intera figura curvilinea occorrerebbero infiniti triangoli, e il rigore greco non permette di considerare infiniti oggetti “tutti in una volta”; ma Archimede aggira il problema in modo assolutamente rigoroso: enuncia anzitutto il suo risultato, ossia che l’area del segmento di parabola è 4/3 dell’area del massimo triangolo in esso inscritto, e per dimostrarlo prova (detto in modo un po’ semplificato) che pur di prendere un numero sufficientemente grande dei triangolini che ha inscritto nel segmento di parabola, la somma delle aree dei triangolini differisce di poco quanto si vuole dal valore di 4/3 dell’area del triangolo massimo. Detto col linguaggio moderno, Archimede ha così dimostrato un risultato di calcolo integrale (disciplina che nascerà intorno al 1700 con Newton e Leibniz), e l’ha fatto applicando correttamente il concetto di limite (che nascerà nell’800 con Cauchy e Weierstrass).

Di più, Archimede riproporrà questo metodo nel calcolo di aree e volumi di molte altre figure, ogni volta implementando l’idea generale mediante ingegnose costruzioni geometriche che spingono al limite i metodi e le conoscenze della geometria euclidea del tempo. Ce n’è abbastanza per dire che Archimede è il più grande precursore nella storia della matematica, e probabilmente nella storia del pensiero scientifico: ha applicato ripetutamente e con successo idee che trovano la loro naturale collocazione in una disciplina inventata 19 secoli dopo e resa rigorosa un altro secolo dopo.

Ma Archimede non è ammirato da 2300 anni solo per l’oggettivo valore dei suoi risultati: è anche il suo stile ad aver sempre colpito l’immaginazione degli studiosi che vi si sono accostati. Leggere oggi le introduzioni dei suoi lavori dà una fortissima impressione di modernità. Sembra lo stile di un brillante paper di ricerca, non quello di un pesante trattato di altri tempi. Di lunghezza moderata, nessuna retorica, ogni suo “libro” inizia con un’introduzione in cui in modo chiaro e sintetico si enunciano i risultati principali che si dimostreranno in seguito, dando i dovuti crediti agli autori che si sono già occupati dell’argomento (ad esempio, prima di presentare il proprio risultato sul volume della sfera cita Eudosso come autore del risultato sul volume del cono e della piramide) ed evidenziando senza esagerazioni ciò che di effettivamente originale c’è nel lavoro presente. Un’onestà intellettuale che nei secoli successivi non sarà sempre così facile ritrovare.

Un termine spesso usato nel descrivere la matematica di Archimede è eleganza.



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