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SCIENZAinATTO/ La Creatività in Matematica

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La "Geometria" in una miniatura del Medioevo  La "Geometria" in una miniatura del Medioevo

Una riflessione stimolante, in cui si chiarisce che all’origine della scienza stanno grandi atti creativi che riguardano la matematica, i suoi metodi ed il suo linguaggio. Ne sono esempi la strada per la ricerca della chiarezza concettuale, il ruolo dell’immaginazione nella soluzione di un problema e la creazione dei simboli nella geometria.

 

 

 

 

 

 

 

L’alba del calcolo automatico

 

Vorrei iniziare queste considerazioni dedicate alla creatività in matematica ricordando quella che mi sembra la prima occasione storica di riflessione su questi argomenti. Ciò è avvenuto per opera di Blaise Pascal, in occasione delle sue meditazioni sulla macchina calcolatrice che egli aveva inventato (quella che fu chiamata “Pascalina”).
[Immagine a sinistra: Calcolatore di Pascal (1642). I numeri vengono introdotti utilizzando le ruote metalliche in primo piano; la soluzione appare nelle finestrelle visibili in secondo piano]
Al grande filosofo e matematico francese si presentò il problema di pensare al posto che questo strumento avrebbe occupato nella nostra vita, ed ai servizi che avrebbe reso all’umanità.
Egli risponde a questi problemi con un’osservazione che, a mio parere, potrebbe essere utilmente meditata anche da coloro i quali oggi si occupano di quella che viene chiamata “intelligenza artificiale”. A questo proposito infatti Pascal osserva che «la macchina aritmetica può fare delle cose a cui nessun essere animato può aspirare; ma manca di quella qualità di libertà che è tipica del vivente.»(1)
Oggi la tecnologia fornisce strumenti molto raffinati e potenti, i quali ci permettono di compiere delle imprese, teoriche e pratiche, che sarebbero state impensabili fino a pochi anni fa, ma ritengo di poter condividere ancor oggi il giudizio del filosofo e teologo francese: infatti egli ideò e costruì uno strumento il quale non soltanto permette di simbolizzare in forma materiale i numeri naturali (cosa che gli antichi avevano attuato in varie forme, spesso molto ingegnose), ma permette anche di eseguire le operazioni su di essi rispettando quelle regole formali del calcolo aritmetico (in particolare, per esempio, le regole dei “riporti”) che traducono le leggi delle operazioni sui numeri; ma ciò avviene sempre ed esclusivamente su comando dell’operatore. In scala enormemente maggiore, i circuiti elettronici traducono con le leggi della fisica i rapporti concettuali e le operazioni aritmetiche e logiche, ed accade talvolta che i risultati ottenuti appaiano in certo modo inaspettati, ma sarebbe imprudente concludere che ciò sia dovuto ad una libera iniziativa dell’apparato, indipendentemente dall’operatore.
Guardando le cose sotto una certa luce, si potrebbe affermare che la storia della matematica, dai tempi più antichi ai nostri, è la ricerca della chiarezza concettuale e della certezza, e la storia mostra chiaramente che questi valori sono stati ricercati e conseguiti attraverso un continuo processo di libera creatività.

 

 

La geometria: immaginazione e logica

 

Da un certo punto di vista si potrebbe dire che fino al Rinascimento, cioè fino alla nascita dell’algebra, nel senso moderno del termine, la geometria ha costituito forse la parte più importante del pensiero matematico: il trattato degli Elementi di Euclide è stato considerato per secoli un monumento della scienza, per i suoi contenuti e per il rigore logico dell’esposizione.
Sarebbe errato ed ingiusto trascurare le nozioni e le dimostrazioni di aritmetica che si incontrano nel trattato euclideo. Tuttavia si direbbe che la creazione e lo studio della geometria abbiano realizzato quell’equilibrio tra immaginazione e discorso logico che è particolarmente gratificante per qualche mente.
Si osserva inoltre che il pensiero greco non soltanto ha costruito un insieme ammirabile di contenuti matematici, ma ha anche analizzato la problematica filosofica riguardante il metodo della matematica ed i fondamenti del rigore logico con il quale questa dottrina raggiunge i suoi scopi. Infatti già in Euclide, e poi più ampiamente in Proclo, si trovano codificati quei due momenti, di analisi e di sintesi, che costituiscono il metodo fondamentale del ragionamento rigoroso e che scandiscono la strada percorsa dalla nostra mente per dimostrare la verità, e per risolvere i problemi, cioè per ottenere rigorosamente e solidamente delle informazioni(2).
Ora è noto che nel primo stadio di questo cammino verso la verità, cioè quello che gli autori citati chiamano il momento di analisi, tale metodo richiede che si immagini il problema risolto e che si traggano da questa ipotesi le conseguenze logicamente necessarie, fino a che si giunga ad un problema che si sa risolvere immediatamente, oppure ad un enunciato evidente di per sé.
È appena necessario rilevare la parte importantissima che viene ad avere, in questa procedura, la fantasia creatrice, se si tratta di un problema geometrico; ed in generale l’agilità mentale dell’operatore, il quale deve cercare di porsi nella situazione finale della ricerca, per esercitare poi la deduzione.
Questo ruolo importante sostenuto dall’immaginazione, in un campo che si direbbe riservato strettamente alla logica deduttiva, indica forse meglio di ogni altra argomentazione quanto grande sia il valore dell’insegnamento della geometria razionale per la formazione di un atteggiamento scientifico negli adolescenti.
In quest’ambito credo di poter aderire pienamente all’opinione di Hans Freundenthal, il quale, in un’opera che in certo modo corona degnamente la sua lunga vita, dedicata alla ricerca ed alla didattica(3), dichiara senza mezzi termini che l’ostracismo, dato alla geometria da certe correnti recenti di didattica della matematica, è stato un «gravissimo errore storico».



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