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SCIENZAinATTO/ I linguaggi matematici: idee e simboli (1)

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Il linguaggio dell’algebra

Uno dei primi e più elementari problemi di cui l’algebra si è occupata è la risoluzione delle equazioni algebriche di primo e secondo grado. Col linguaggio attuale, si tratta delle equazioni del tipo:

ax + b = 0         (primo grado)

ax2 + bx + c = 0    (secondo grado)

dove x è l’incognita e a, b, c sono coefficienti assegnati. Per l’equazione di primo grado, per esempio, la soluzione è:

(purché sia ). Questo modo di formulare i problemi è detto dell’«algebra simbolica», ed è una conquista del XVI secolo, per arrivare alla quale è stato necessario un lungo e faticoso cammino del pensiero matematico. Qui non vogliamo tracciare un resoconto storico di questi sviluppi, ma solo segnalare due punti-chiave di questo progresso.
Il primo, che si può far coincidere con l’invenzione stessa dell’algebra, è il concetto di «equazione in un’incognita». Anzitutto l’idea di «incognita», cioè l’idea di dare un nome a una quantità che ancora non conosciamo (e neppure sappiamo se esista) ma che, se esiste, deve soddisfare una certa uguaglianza. Successivamente, su questa uguaglianza contenente un’incognita (= equazione) possiamo eseguire determinate operazioni che trasformano l’uguaglianza in un’altra equivalente ma sempre più semplice, fino ad arrivare alla soluzione, se esiste.
Esemplifichiamo su un problema tratto dal già citato Liber Abaci di Leonardo Pisano (4).
«Dice un giovane: “Oggi, se al triplo della mia età aggiungo 1/4 e 1/3 di quanto ho già vissuto, mi manca solo un anno per avere 100 anni”. Qual è l’esatta età del giovane in anni, mesi e giorni?»
Possiamo formalizzare il problema introducendo un’incognita: x = età del giovane, e quindi traducendo l’informazione contenuta nel testo in un’equazione:

Su questa equazione si può ora operare, prima trasformando l’espressione a primo membro come

quindi sottraendo ad ambo i membri dell’equazione 1 e successivamente moltiplicando ambo i membri dell’equazione per 12/43, ottenendo:


Tutte le operazioni effettuate sono lecite in base alle proprietà generali della somma e del prodotto dei numeri reali.
Questo modo di procedere per noi è naturale e quasi banale, ma occorre riflettere sul grado di astrazione implicito in questo ragionamento, e consistente anzitutto nell’uso del concetto di «incognita» e di «equazione», e quindi nell’utilizzo corretto delle proprietà delle operazioni anche quando queste coinvolgono un «numero incognito». Senza queste idee, il problema andrebbe risolto con un ragionamento certamente più tortuoso. In realtà Leonardo Pisano risolve questo problema senza usare esplicitamente il metodo risolutivo dell’equazione di primo grado, ma col «metodo di falsa posizione»; in generale Leonardo, che pure conosce le equazioni, ne riserva l’uso a problemi formulati in modo più intricato di questo. In sostanza, però, il suo ragionamento utilizza sia il concetto di incognita che quello di equazione (espressa a parole); solo nei passaggi risolutivi si discosta dal nostro metodo e si rifà piuttosto alle proporzioni (che comunque sono particolari equazioni). Tradotto in linguaggio simbolico infatti, il suo ragionamento verbale è il seguente:

Se fosse x = 12 («falsa posizione») il primo membro risulterebbe 43 invece che 99 (si noti che, grazie alla scelta astuta del numero 12, questo è un calcolo facile da fare «a mente»: la forza del metodo è questa). Dunque vale la proporzione

Anche se abbiamo usato il linguaggio simbolico moderno per fare un resoconto del ragionamento di Leonardo, si noti che di per sé l’idea di equazione in un’incognita è indipendente dall’uso di un particolare formalismo. Storicamente l’algebra nasce nell’alto medio evo, presso gli arabi, come «algebra retorica», dove l’incognita è chiamata «la cosa» e tanto l’equazione quanto il suo procedimento risolutivo sono interamente raccontati a parole (da cui appunto il nome di algebra retorica). La risoluzione per questa via è molto faticosa (6), e c’è voluta immaginazione e lungimiranza, da parte dei matematici medievali e del primo rinascimento, per pensare che questo metodo algebrico avrebbe potuto dare dei buoni frutti, se ben coltivato.

Il secondo punto chiave in questo sviluppo, infatti, consiste appunto nel passaggio dall’algebra retorica all’algebra simbolica. Questo passaggio, lungo e graduale, ha un’interessante anticipazione intorno al 1200 con l’opera di Giordano Nemorario, che rimane però isolata, subisce un’accelerazione con gli algebristi italiani del rinascimento, che iniziano a usare ciascuno le proprie abbreviazioni simboliche (si parla di «algebra sincopata» per descrivere questo stadio di sviluppo), e si considera avere un punto di svolta decisiva intorno al 1600 con la figura di François Viète (1540-1603) (7).
L’algebra simbolica a sua volta è caratterizzata da due innovazioni cruciali: la prima è l’uso di un «simbolismo standard» per scrivere le equazioni (anziché doverle raccontare a parole), che rende celere e trasparente il procedimento risolutivo; la seconda è l’uso di «coefficienti generici», cioè l’idea di dare dei nomi (per esempio a, b, c) ai numeri (considerati noti, non incogniti!) che compaiono nell’equazione, al fine di poter risolvere «in un colpo solo» tutte le equazioni di un certo tipo, e non solo una specifica equazione.

Per esempio, se vogliamo mostrare come si risolve la generica equazione di primo grado, è sufficiente scrivere

ax + b = 0

con a, b generici numeri reali. Sottraendo b ad ambo i membri e quindi dividendo per a ambo i membri (se ), si trova la soluzione generale:

Prima della nascita dell’algebra simbolica, i trattati di algebra insegnavano a risolvere le equazioni unicamente attraverso esempi numerici, senza la possibilità di enunciare simbolicamente una regola generale: non esisteva un linguaggio capace di questa generalità.
L’uso di lettere per denotare coefficienti generici si intreccia con un altro problema, che è l’uso dei numeri negativi, pienamente affermatosi in Europa solo nel XVI secolo (con Rafael Bombelli (1526-1572), Simon Stevin (1548–1620). Per chi non conosce i numeri negativi, le equazioni

ax2 + bx = c;   ax2 = bx + c;   ax2 + c = bx

non sono tre casi particolari dell’equazione generale

ax2 + bx + c = 0,

ma piuttosto tre classi di equazioni ben distinte. È il fatto di considerare anche la possibilità che a, b, c indichino numeri negativi che unifica i tre «casi» in uno solo.

 

Sintetizziamo.
Il linguaggio dell’algebra simbolica utilizza lettere per denotare incognite e coefficienti generici. Questo procedimento rende celere la formalizzazione e risoluzione di molti problemi, e consente di formulare sinteticamente le regole generali di risoluzione.
Tutto ciò è strettamente connesso a certi progressi fatti nell’evoluzione del pensiero matematico.
L’affermarsi di un certo tipo di ragionamento astratto: dare un nome ad una ipotetica quantità che ancora non conosciamo, ma che, se esiste, deve soddisfare una certa uguaglianza, e trarre conseguenze opportune da questa uguaglianza.
L’idea di scrivere e risolvere le equazioni in simboli, non a parole.
L’idea che si possano stabilire relazioni valide per numeri qualsiasi indicando questi con delle lettere (parametri). Quest’idea è naturalmente intrecciata a un approfondirsi della consapevolezza delle proprietà astratte delle operazioni di somma e prodotto di numeri: per scrivere

a(x + 1) = ax + a

occorre avere chiara la proprietà distributiva, e aver capito che proprio la generalità con cui vale quella proprietà ci consente di affermare che è lecito scrivere uguaglianze letterali: queste uguaglianze «non ci tradiranno» quando sostituiremo a una lettera un numero concreto, proprio perché le proprietà che applichiamo sono valide per ciascun numero. Ma allora si può usare sistematicamente lettere al posto di numeri e stabilire formule di valore generale.
Il concetto di «numero negativo» (e non solo di «sottrazione di un numero da un altro»), che consente di unificare procedimenti che altrimenti si frammenterebbero in una casistica complicata.
L’esempio dell’algebra mostra quindi come il linguaggio matematico non sia semplicemente un modo per «comunicare» certe idee, ma sia esso stesso il luogo in cui «risiedono» certe idee. Il linguaggio incorpora in sé progressi, idee, giudizi, astrazioni frutto di una lunga storia. Per questo quando ragioniamo usando un certo linguaggio, certi problemi (non tutti!) appaiono banali, mostrano da sé la strada per la propria soluzione. In realtà il problema non può essere considerato banale di per sé; piuttosto, si può dire che in quel caso il linguaggio si sia fatto carico della maggior parte del lavoro necessario a risolvere il problema. Il linguaggio ricapitola i progressi concettuali di tutta una storia, e ci fa vedere le cose «dalle spalle dei giganti».



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