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SCIENZAinATTO/ I linguaggi matematici: idee e simboli (2)

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M.C. Escher, Limite del cerchio III (xilografia, 1959)  M.C. Escher, Limite del cerchio III (xilografia, 1959)

In questa seconda parte dell’articolo (la prima parte è stata pubblicata nel Numero 42 di Emmeciquadro) si analizzano il simbolismo degli insiemi, l’introduzione del concetto di funzione e gli ulteriori sviluppi del simbolismo; si conclude con alcune osservazioni di carattere didattico.

 

 

 

 

Il linguaggio degli insiemi e le funzioni

 

Il linguaggio degli insiemi è stato utilizzato a partire dall’Ottocento, sempre più sistematicamente, in tutti i lavori sui fondamenti della matematica. Verso la fine dell’Ottocento, Cantor [Immagine a sinistra: Georg Cantor (1845-1918)] ha studiato in profondità la teoria degli insiemi infiniti, che è solitamente considerata una sua creazione.
Nel 1900, la scoperta da parte di Bertrand Russel (1872-1970) di una famosa «antinomia» sembrò mettere in crisi il modo (oggi poco rispettosamente detto «ingenuo») di concepire gli insiemi a quel tempo.
Nei primi anni del Novecento furono fatti vari tentativi di assiomatizzare rigorosamente questa disciplina (teoria di Zermelo - Fraenkel, teoria di von Neumann) [Immagine a destra: Ernst Zermelo (1871-1953). Immagine che segue a sinistra: Abraham Fraenkel (1891-1965)] , che da allora è diventata, dal punto di vista formale, una teoria matematica come le altre.
Invece, nell’Ottocento era pensata come una sorta di prolungamento della logica, intesa quest’ultima, al modo classico, come l’insieme delle «regole del ben ragionare» e non, come sarebbe divenuta nel Novecento, come una branca dell’algebra astratta.
Qui ci interessa riflettere non tanto sulla teoria formale degli insiemi, con i suoi problemi, i suoi metodi, i suoi successi, coltivati dagli addetti ai lavori, ma sul «linguaggio degli insiemi» che dall’Ottocento a oggi è divenuto il pane quotidiano dei matematici, il modo normale in cui si formalizza, si scrive, si insegna la matematica nelle università e, almeno per quanto riguarda l’analisi matematica, anche a scuola.
In particolare, vediamo come il linguaggio degli insiemi ha influito sul precisarsi del concetto di «funzione», che è uno dei concetti centrali dell’analisi [Immagine a destra: John von Neumann (1903-1957)].
Prima dell’Ottocento i matematici usavano questo concetto senza una definizione esplicita. Per esempio, per Newton una funzione (che lui chiama «fluente») è pensata come una grandezza variabile nel tempo con continuità, «come una linea è generata dal moto continuo di un punto»(a).
Un’idea generale ma molto vaga [Immagine a sinistra: Frontespizio del trattato di Newton "De quadratura curvarum"].
In pratica Newton, anziché precisare teoricamente questa richiesta, si limita a considerare le funzioni che hanno un’espressione analitica ben precisa: polinomi, quozienti di polinomi, serie di potenze (da lui studiate, e viste come generalizzazione dei polinomi), e che generalmente soddisfano certi requisiti di regolarità.
Il criterio pragmatico di demarcazione tra le funzioni accettabili in analisi, per Newton, diventa (implicitamente) la forma della loro espressione analitica [Immagine a destra: "Introductio" al "De quadratura curvarum"].
Nel 1718, J. Bernoulli1(667-1748) è altrettanto vago:
«Chiamiamo qui funzione di una grandezza variabile, una quantità che è composta in ogni possibile maniera di questa grandezza variabile e di costanti».
Sotto la spinta del calcolo infinitesimale e della meccanica di Newton, a partire dal Settecento si assiste a un fiorire di ricerche di fisica matematica [Immagine a sinistra: John Bernoulli (1667-1748)].
Alcune di queste ricerche si concentrano su problemi fisici (diffusione del calore, vibrazione di corde e membrane) che, per la loro risoluzione, coinvolgono problemi matematici rilevanti e stimolano la nascita di nuove teorie, come quella delle serie di Fourier(1768-1830).
Questo circolo di idee rende sempre più pressante il problema di definire con precisione un ambito di lavoro: che cos’è una funzione, in generale? Quali sono le ipotesi sotto le quali i procedimenti del calcolo infinitesimale sono applicabili alle funzioni? Quali sono le ipotesi minime sotto le quali le varie «formule risolutive» trovate per i vari problemi della fisica matematica si possono considerare valide?
Nel 1837, Dirichlet dà la seguente definizione di funzione, che sostanzialmente è quella che si dà ancora oggi (almeno nel contesto delle funzioni reali di variabile reale):
«Se ad ogni x (di un certo intervallo) corrisponde un unico valore y finito, allora y è detto funzione di x su questo intervallo. Questa definizione non richiede una definizione comune per le varie parti della curva; si può immaginare la curva composta delle componenti più eterogenee oppure tracciata senza seguire alcuna legge».
L’idea di Dirichlet [Immagine a destra: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)], espressa nel linguaggio attuale, è che ha il diritto di chiamarsi funzione una qualsiasi legge che permetta di associare univocamente ad ogni numero di un certo insieme A un numero di un certo insieme B. Non importa che questa legge abbia qualcosa a che fare con polinomi, logaritmi, esponenziali, o altre consuete funzioni elementari. L’univocità della corrispondenza è l’unica richiesta essenziale per poter parlare di funzione. Per esempio (l’esempio è proprio dovuto a Dirichlet), è una funzione quella che ad ogni numero razionale associa 1 e ad ogni numero irrazionale associa 0.
Questa idea è semplice ma rivoluzionaria, in quanto la completa arbitrarietà della legge che definisce una funzione destituisce di importanza l’esistenza di una particolare espressione analitica, a vantaggio di una totale generalità; al tempo stesso, viene a cadere il requisito (che aveva il difetto di essere espresso in modo vago, ma il vantaggio di essere intuitivo) di «grandezza che varia con continuità». La funzione è definita punto per punto, e il suo valore in un punto non ha a priori alcuna relazione coi valori nei punti vicini. Ciò significa che non c’è da aspettarsi a priori nessuna particolare regolarità dal grafico della funzione: potrebbe essere una curva discontinua, con salti e strappi di ogni genere, oppure non avere retta tangente, o avere ogni sorta di «patologia», come accade con l’esempio fatto sopra di funzione che vale 1 se x è razionale e 0 se x è irrazionale, il cui grafico è impossibile da disegnare.
«Ci accorgemmo che le funzioni, alla pari degli uomini, sono capaci del peggio». (F. Klein(b)).
È chiaro che l’allargamento smisurato dell’ambito di ciò che si può considerare «funzione», rende poi molto più delicata la dimostrazione dei teoremi: non ci si potrà appellare a proprietà «geometricamente intuitive» del grafico delle funzioni, perché di intuitivo in questo concetto è rimasto ben poco.
Il precisarsi del moderno concetto di funzione, una conquista nel cammino di rigorizzazione compiuta dall’analisi matematica nel XIX secolo, ha fissato il contesto di tutta la ricerca successiva in analisi e dettato un nuovo canone di rigore matematico. E tutto questo semplicemente introducendo un termine, una definizione, che segna un punto di svolta nel linguaggio di tutta la matematica. A sua volta, questo è conseguenza (o se vogliamo è un aspetto) dell’affermarsi progressivo del linguaggio degli insiemi: la definizione moderna di funzione è semplice e «naturale» dal punto di vista del linguaggio degli insiemi.
Ancora, il nuovo linguaggio ha in sé la potenzialità di aprire nuovi mondi all’esplorazione: perché limitarsi a considerare funzioni definite tra insiemi di numeri?
Possiamo considerare, come si farà sistematicamente dall’inizio del Novecento con l’«analisi funzionale», funzioni definite tra insiemi arbitrari, in particolare tra insiemi di funzioni. Questo non è un circolo vizioso, ma il fenomeno, tipico del linguaggio degli insiemi, di prestarsi a una stratificazione dei livelli di astrazione.

 

Linguaggio e simbolismo



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