SCIENZ@SCUOLA/ Spazio e Tempo nella Relatività Ristretta: un percorso didattico

- Lorenzo Mazzoni

Un percorso sulla Relatività ristretta, costruito tenendo in controluce le memorie della stesso Einstein, nel quale emerge il nesso tra la nuova teoria e la fenomenologia cui si riferisce.

Mazzoni_Relativita_Einstein_425x292_ok
Albert Einstein

Le Indicazioni Nazionali relative ai nuovi licei scientifici alla voce linee generali e competenze suggeriscono che al termine del percorso liceale lo studente abbia «appreso i concetti fondamentali della fisica, le leggi e le teorie che li esplicitano, acquisendo consapevolezza del valore conoscitivo della disciplina e del nesso tra lo sviluppo della conoscenza fisica ed il contesto storico e filosofico in cui essa si è sviluppata» e ancora negli OSA (Obiettivi Specifici di Apprendimento) relativi al quinto anno si legge «il percorso didattico comprenderà le conoscenze sviluppate nel XX secolo relative al microcosmo e al macrocosmo, accostando le problematiche che storicamente hanno portato ai nuovi concetti di spazio e tempo, massa e energia. L’insegnante dovrà prestare attenzione a utilizzare un formalismo matematico accessibile agli studenti, ponendo sempre in evidenza i concetti fondanti.» Nello spirito che caratterizza queste indicazioni, l’autore propone un percorso sulla Relatività ristretta, costruito tenendo in contro luce le memorie della stesso Einstein, per far emergere il nesso profondo tra la nuova teoria e la fenomenologia cui si riferisce, troppo spesso censurato da un approccio che privilegia il formalismo matematico. Emerge in questo modo il carattere euristico della teoria che nell’esperienza di ogni ricercatore, come è accaduto per Einstein, precede la ricerca del linguaggio adeguato per comunicarla. Un’impostazione originale per un percorso di fisica moderna in vista dell’Esame di Stato.

La trattazione della relatività ristretta può costituire un’occasione per rivedere criticamente alcuni principi fondamentali di fisica, se si parte dalla revisione dei concetti di spazio e tempo che derivano dai postulati di Einstein. Infatti analizzando alcune situazioni fisiche alla luce di questi, si giunge a previsioni apparentemente paradossali, ma verificabili.
Le stesse previsioni possono essere operate anche partendo dalle trasformazioni di Lorentz, che comunque a un certo punto del percorso vanno introdotte: ma in questo caso il rischio è di proporre allo studente una applicazione di formule, il cui significato fisico rimane comunque oscuro.
In questa sede vogliamo esporre i passaggi essenziali di un percorso che riprende e chiarisce la problematica da cui è sorta la teoria della relatività, e ripercorre i passi che hanno portato a una nuova concezione di spazio e di tempo. Per lo studente questa può essere un’esperienza interessante: trovarsi di fronte a una indagine sulle situazioni fisiche basata più sulla logica che sulle formule, che anzi inizialmente sono alquanto semplici, rispetto ad altri argomenti del corso di fisica.
Tale percorso, d’altronde, è quello più aderente al pensiero di Einstein, come si esprime in particolare nell’articolo fondamentale del 1905 e nel saggio divulgativo (ma non troppo!) del 1917. Non a caso saranno citati più volte.
Questa scelta è stata operata, sia pure con gli opportuni adattamenti didattici, anche in un libro di testo per i licei scientifici di recente pubblicazione (6 – Marazzini, Bergamaschini, Mazzoni, 2012).

Il principio di relatività Galileiano

Un primo passaggio del percorso è quello di riprendere i concetti classici di spazio e tempo, mostrandone le ipotesi che rimangono implicite nello svolgimento didattico della fisica, anche perché assunte come evidentemente vere, e quindi non discutibili.
Nella fisica classica prevale il concetto di uno spazio e di un tempo assoluti. Come afferma Newton nei Principia «Lo spazio assoluto, per sua natura privo di relazione con qualcosa di esterno rimane sempre simile a se stesso e immobile. Il tempo assoluto, vero e matematico in sé e per sua natura fluisce uniformemente». Nel secolo successivo Kant nella Critica della ragion pura cerca di dare un fondamento filosofico a queste affermazioni: «Lo spazio è una necessaria rappresentazione a priori, che sta a fondamento di tutte le rappresentazioni esterne. Il tempo non è un concetto che sia stato ricavato da una qualche esperienza. Il tempo dunque è dato a priori».
Tuttavia nessuno è in grado di stabilire quale sia il sistema di riferimento «assoluto», cioè «oggettivamente» fermo. Poco male, perché nei fenomeni meccanici vale il principio di relatività galileiana: esiste una classe di sistemi in moto rettilineo uniforme gli uni rispetto agli altri (i sistemi inerziali) per i quali valgono le stesse leggi di fisica; sono sistemi perfettamente equivalenti, per cui il sistema di riferimento assoluto, ammesso che esista, non potrebbe essere individuato, perché non avrebbe nessuna caratteristica in più rispetto a un qualsiasi altro sistema inerziale.
Nel passaggio da un sistema a un altro vale il principio di addizione delle velocità, frutto delle trasformazioni galileiane da un sistema a un altro in moto relativo rettilineo uniforme. In tali trasformazioni sono contenute le ipotesi implicite a cui accennavo sopra: la misura degli intervalli temporali e delle lunghezze è indipendente dal sistema di riferimento, in altre parole distanze e tempi hanno un valore assoluto.

 

Le trasformazioni di Galilei

Secondo la relatività galileiana tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto allo spazio assoluto, e quindi fra loro, sono equivalenti per la descrizione dei fenomeni fisici. Non si può quindi distinguere la quiete da un moto rettilineo uniforme. Questa affermazione galileiana era però a un livello intuitivo, non essendo state ancora stabilite le leggi dinamiche del moto.
Una volta introdotte leggi della dinamica newtoniana, le trasformazioni di Galilei, cioè le relazioni che collegano le coordinate, la velocità e l’accelerazione di un punto P in moto rispetto a un osservatore O a quelle rispetto a un osservatore O’ in moto rettilineo uniforme rispetto ad O, permettono di dimostrare questa equivalenza.
Se O’ è un osservatore nella stessa posizione di O nell’istante iniziale, ma in moto rettilineo uniforme con velocità vO’ rispetto ad O, lungo l’asse x, dopo un tempo Δt un punto P che per O ha coordinata x e velocità v, per O’ avrà coordinata x’ data dalla relazione:

x’ = xvO Δt

Mentre la sua velocità v’ è data da

Poiché le velocità in O e O’ differiscono per un valore costante vO’ si avrà per l’accelerazione di P:

a’ = a

Quindi tutti i sistemi in moto relativo rettilineo uniforme l’ accelerazione a di un corpo ha sempre lo stesso valore.
Di più, per la legge della dinamica F = ma,

da a’ = a si deduce F’ = F

 

Sistemi inerziali

 

Dalla formula precedente deriva che forze agenti hanno stesso valore in tutti i sistemi di riferimento in moto reciproco rettilineo uniforme!
Quindi le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti questi sistemi di riferimento, in particolare il principio di inerzia; per questo si parla di sistemi inerziali.

 

Invarianza di tempi e lunghezze

 

Nelle formule di trasformazione il valore degli intervalli temporali e il valore delle lunghezze sono gli stessi in tutti i sistemi di riferimento: c’è l’ ipotesi implicita di uno spazio e di un tempo assoluti.
In formule, detti t e l un certo intervallo di tempo e una certa lunghezza in un sistema S, passando a S’ si ha:

l’ = l e t’ = t


 

 

 

Il problema dell’etere

 

Il problema dell’esistenza di un sistema assoluto ritorna però attuale con lo studio dei fenomeni luminosi.
La natura ondulatoria della luce, affermatasi nella prima metà dell’Ottocento richiede, come per ogni onda, la presenza di un mezzo materiale. Il problema sorge dal fatto che la luce si propaga nello spazio cosmico, cioè in uno spazio apparentemente vuoto di materia. È opportuno a questo punto ricordare agli studenti l’ambiente storico e culturale di metà Ottocento in cui, chiarita la natura ondulatoria della luce, si pone il problema: siamo nel pieno di una mentalità positivista, la «materia» è l’unica cosa che esiste; quindi se c’è un’onda deve anche esistere un mezzo materiale che ne permetta la propagazione: si tratta, da un punto di vista scientifico, di una concezione meccanicistica.
Occorre quindi, per salvare questa concezione supporre che lo spazio sia riempito di un mezzo materiale, l’«etere», che renda possibile la propagazione della luce e delle onde elettromagnetiche. L’etere costituisce un mezzo «oggettivamente» fermo, e quindi un sistema di riferimento assoluto.
Cade allora il principio di relatività galileiano rispetto a tutti i fenomeni che coinvolgono la propagazione della luce: il sistema di riferimento dell’etere costituisce un sistema privilegiato, il sistema assoluto di Newton e Kant. Anche per le leggi dell’elettromagnetismo non sembra valere il principio di relatività: se si applicano le trasformazioni di Galileo non si ottengono le stesse leggi in due sistemi in moto reciproco rettilineo uniforme.
Alla ricerca di questo sistema assoluto si dedicarono gli scienziati di fine Ottocento. Uno dei metodi di ricerca è quello di cercare variazioni della velocità della luce in un mezzo che si possa pensare presumibilmente in moto rispetto all’etere, per esempio la stessa Terra.
Se c è la velocità della luce nell’etere, in un sistema S con velocità v rispetto all’etere, nella stessa direzione in cui si propaga un raggio di luce, la velocità della luce dovrebbe essere

c’ = c ± v

A seconda del verso del moto di S.
Seguendo questo ragionamento furono eseguiti diversi esperimenti: il più famoso e accurato è quello Michelson e Morley, che però diede esito negativo. Sembrava cioè che il moto del sistema di riferimento non modificasse la velocità della luce.
Vai all’approfondimento che descrive l’esperimento di Michelson-Morley

 

 

I Postulati della Relatività Ristretta

 

Per rendere possibile la validità delle leggi dell’elettromagnetismo furono escogitate nuove trasformazioni delle coordinate (le trasformazioni di Lorentz) che coinvolgevano sia le coordinate spaziali che quelle temporali: funzionavano, ma il loro significato era alquanto oscuro.
Diversa è l’impostazione data da Einstein al problema dell’etere, che si esprime nei due famosi postulati seguenti: il principio galileiano di relatività vale per tutti i fenomeni fisici; la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento.
Nelle parole di Einstein:
«Per tutti i sistemi di coordinate per i quali valgono le equazioni della meccanica varranno anche le stesse leggi elettrodinamiche e ottiche. Eleveremo questa congettura (il contenuto della quale verrà detto, in quanto segue, “principio di relatività”) al rango di postulato.» (1 – Einstein, 1905)
Uno dei motivi per cui Einstein formula questo postulato è la mancanza di una evidenza sperimentale delle sua non validità nei fenomeni elettromagnetici. Ma il secondo risiede in una fiducia nella razionalità della realtà fisica:
«Sebbene la meccanica non ci fornisca una base sufficientemente ampia per la presentazione teorica di tutti i fenomeni fisici, possiamo tuttavia accordarle una considerevole misura di “verità”, dato che ci fornisce i movimenti effettivi dei corpi celesti con una minuzia di particolari che non è eccessivo definire pressoché miracolosa. Tuttavia il fatto che un principio fornito di così vasta generalità risulti valido con simile esattezza in un solo campo di fenomeni, e che invece cessi di valere in un altro, è a priori poco probabile» (2 – Einstein, 1917).
Ma se vogliamo mantenere questo principio, la velocità della luce nel vuoto deve essere una costante indipendente dal particolare sistema di riferimento:
«Supporremo inoltre – un postulato questo solo apparentemente incompatibile col precedente – che la luce, nello spazio vuoto, si propaghi sempre con velocità determinata c, che non dipende dallo stato di moto del corpo che la emette» (1 – Einstein, 1905).

Da questi postulati segue che:
«L’introduzione di un “etere luminifero” si manifesterà superflua, tanto più che la concezione che qui illustreremo non avrà bisogno di uno “spazio assolutamente stazionario” corredato di particolari proprietà, né di un vettore velocità assegnato a un punto dello spazio vuoto nel quale abbiano luogo processi elettromagnetici» (1 – Einstein, 1905).
Il secondo postulato di Einstein può apparire a prima vista paradossale e frutto di strane elucubrazioni mentali, ma. come Einstein stesso ci teneva a dire, «nel considerare la natura specifica della teoria della relatività, tengo a mettere in evidenza che questa teoria non è di origine speculativa, ma che la sua scoperta è dovuta completamente e unicamente al desiderio di adattare, quanto meglio è possibile, la teoria fisica ai fatti osservati» (3 – Einstein, 1975).

 

L’orologio di luce

 

Per illustrare i paradossi che emergono dai postulati di Einstein si può ricorrere a un dispositivo ideale (ma perfettamente coerente con le leggi della fisica): l’orologio di luce. Tale orologio è composto da due specchi affacciati a distanza L [si veda l’immagine che segue].
L’unità di tempo è data dal tempo necessario per la luce a percorrere avanti e indietro la distanza fra i due specchi.

 

 

La dilatazione dei tempi

 

Il percorso della luce nel braccio verticale è diverso per un osservatore O’ fermo rispetto allo strumento e per un osservatore O che vede lo strumento muoversi in direzione orizzontale.
Se la velocità della luce è costante per tutti gli osservatori i tempi di percorrenza saranno diversi. Indicata la lunghezza di AB con L, il tempo segnato dall’orologio di luce per O’ è dato da:

t’ = 2L/c

Per O il percorso è più lungo: il tratto AB non è più lungo L, ma S = AB +BC [si veda l’immagine che segue] e quindi:

t = 2S/c

 

 

Indicata con v la velocità di O’ rispetto ad O e ricordando che S2 = L2 + (vt/2)2, si ha:

Sviluppando i calcoli si trova:

t = γt’

Con:

Dall’esempio dell’orologio di luce si deduce che se t’ è l’ora segnata da un orologio di O’, nel sistema di O la durata dello stesso evento vale:

t = γt’

Il tempo trascorso è quindi maggiore.
O conclude che un orologio in moto rallenta.

 

 

Contrazione delle lunghezze

 

Lo stesso esempio dell’orologio di luce ci permette di concludere che anche la misura di una lunghezza dipende dal sistema di riferimento.
Consideriamo il segmento AC di lunghezza l che collega le posizione iniziale e finale di O’, valutate da O. O può misurare tale distanza, con un normale metro. Indicando con v il modulo della velocità di O’ rispetto ad O, tale distanza dovrà essere

l = v t

Per O’ è però O che si muove: egli valuta il tempo che trascorre dal passaggio del primo orologio (in A) a quello del secondo orologio (in C), e tale tempo è, come abbiamo visto:

t’ = t/γ

Per cui anche la lunghezza di AC (che è un segmento nel sistema di O) sarà minore:

Quindi le lunghezze in moto appaiono contratte di un fattore γ.

 

 

Relatività della simultaneità

 

Un’altra conseguenza della diversa misura dei tempi nel passaggio da un sistema di riferimento a un altro è la relatività della simultaneità.
Due eventi lontani simultanei in un sistema di riferimento in generale non lo sono in un altro sistema in moto rispetto al precedente. Questo problema è strettamente collegato alla sincronizzazione di orologi distanti solidali a un certo sistema di riferimento.
«Per descrivere il moto di un punto materiale si danno i valori delle coordinate in funzione del tempo. Si tenga presente che una tale descrizione matematica non ha significato fisico se prima non si è chiarito che cosa si intende per “tempo”. Noi dobbiamo considerare che tutti i nostri giudizi in cui interviene il tempo sono sempre giudizi su eventi simultanei. Se dico “il treno arriva alle ore 7” ciò equivale a dire che “il posizionamento della lancetta del mio orologio e l’arrivo del treno sono eventi simultanei ”» (1 – Einstein, 1905)

 

 

La sincronizzazione degli orologi

 

Il tempo di un evento deve essere misurato da un orologio posto esattamente dove l’evento accade. Per questo un osservatore O deve possedere una collezione di orologi perfettamente sincronizzati.
Per sincronizzare due orologi posti in A e in B, O si pone nel punto medio M e lancia un segnale di luce contemporaneamente ad A e B. Due segnali di risposta, mandati alla stessa ora indicata da A e B dovranno arrivare a M nello stesso istante [si veda l’immagine seguente].

A questo punto ne deriva la seguente definizione operativa di simultaneità:
«due eventi in A e B sono simultanei, se un osservatore O posto in M (punto medio di AB) riceve nello stesso istante due segnali luminosi provenienti da due osservatori O1 e O2 posti rispettivamente in A e B».
Proprio a causa del meccanismo di sincronizzazione degli orologi, due eventi simultanei per un osservatore O non lo sono per ogni altro osservatore O’ in moto con velocità v rispetto ad O. O’ attribuisce questo fatto a un «difetto di sincronizzazione» degli orologi di O. Infatti, per O’, O si muove (per esempio verso sinistra) con velocità v e il segnale mandato da O arriva in B (che si muove incontro al segnale) prima che in A (che deve essere «inseguito» dal segnale). Di conseguenza gli orologi di O non sono sincronizzati: l’orologio in B anticipa rispetto a quello in A.
Come mai allora O «non si accorge» che i suoi orologi non sono sincronizzati?
Sempre ragionando dal punto di vista di O’, il segnale che parte da B (orologio in anticipo), ci mette più tempo ad arrivare in O (questa volta è lui che deve «inseguire») del segnale che proviene da A (orologio in ritardo), per cui si compensa nel ritorno la desincronizzazione degli orologi: ad O arrivano due segnali nello stesso istante, che segnano la stessa ora.

 

 

Il principio di causa ed effetto

 

La certezza di una sequenza temporale è alla base del principio di causa ed effetto: per un osservatore O, A può essere la causa di B solo se accade prima. Tuttavia la relatività della simultaneità implica che, per un altro osservatore O’, B potrebbe precedere A, e quindi B potrebbe essere la causa e A l’effetto: se così fosse verrebbe messa in crisi la possibilità di una descrizione oggettiva del reale.

 

Passato, presente, futuro

 

In realtà non è così, ma per risolvere questo apparente paradosso, bisogna dare la seguente definizione operativa di passato, presente e futuro, legata al concetto di causalità.

Che cos’è nel mio futuro? Ciò su cui posso influire (per esempio inviando un messaggio). Che cos’è nel mio passato? Ciò che può influire su di me (per esempio inviandomi un messaggio) Che cos’è nel mio presente? Ciò che non è né nel passato né nel futuro, cioè da cui non posso ricevere, né a cui posso inviare dei messaggi.
Attenzione! Fra cosa si può stabilire un rapporto causa – effetto? Tra due punti eventi, cioè tra due posizioni spazio temporali.
Per fare un esempio, da un punto di vista fisico quando dico «io», indico un punto-evento, «io, x, t», cioè una precisa posizione spazio-temporale. Fra un secondo non sono lo stesso «io», anche se sono fermo ma un «io, x, t+1» per cui un evento che per me è nel presente, se entro un secondo mi arriva da esso un messaggio, sarà nel passato di «io», «x, t+1»
Nella fisica classica quanto detto sopra sembra una complicazione inutile: limitandoci al caso unidimensionale, nel grafico a lato [vedasi l’immagine a sinistra] il futuro è il semipiano dei t positivi, il passato il semipiano dei t negativi, il presente è l’asse delle x (t = 0).
Nella fisica della relatività la situazione è più complessa, perché i segnali che due osservatori si scambiano non possono superare la velocità della luce; di conseguenza il «presente» si espande da una linea a una regione del piano [vedasi l’immagine che segue a destra].
Rispetto a un osservatore O posto nell’origine (si è posto per semplicità nel grafico c =1) è nel «futuro» di O ogni punto che può essere raggiunto con un segnale che viaggi con velocità minore o uguale a quella della luce, nel «passato» ogni punto che può inviare a O un segnale dello stesso tipo, nel presente ogni altro punto del piano.
Le rette x = ± ct separano le tre zone [Immagine a destra].

Ma, data la relatività della simultaneità, per cui in alcuni casi per un osservatore O l’evento A precede l’evento B, mentre per un altro osservatore O’ è B che precede A, non può scambiarsi, oltre che la sequenza temporale, anche il rapporto causa – effetto?
Se così fosse non ci sarebbe più alcuna possibilità di una descrizione «oggettiva» della realtà.
Le leggi della relatività garantiscono un’oggettività se si può dimostrare attraverso di esse che quando fra A e B c’è un rapporto di causa – effetto (B è nel futuro di A) lo stesso accade in qualsiasi altro sistema di riferimento.

 

L’invariante spazio-temporale

 

Dato un punto evento O(x1,t1) si può stabilire se un evento A(x2,t2) è nel passato o nel futuro di O ?
Considerando la grandezza fisica (separazione spazio-temporale) ΔS2 così definita:

ΔS2 = Δx2 – c2 Δ t2

Se ΔS2 < 0

A appartiene a una delle due falde del cono: c’è una relazione causa effetto fra O e A;

Se ΔS2 > 0

Nessun lampo di luce può collegare O e A: A è nel presente di O.
Si può dimostrare che il rapporto causa – effetto viene conservato ed è espresso matematicamente attraverso una grandezza fisica detta Invariante spazio-temporale (Ist) che coincide con ΔS2, e ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento.
Viene così restituito un valore assoluto alle leggi fisiche: la relatività non è relativismo!

 

 

Conclusioni

 

Il percorso proposto non è esaustivo dell’argomento Relatività Ristretta.
Per proseguire (ma con una maggiore consapevolezza delle leggi della relatività) occorre introdurre le equazioni di Lorentz, che oltre a confermare quanto già stabilito, ci consentono di dimostrare che l’Invariante spazio-temporale è un invariante rispetto al sistema di riferimento; a partire da queste equazioni andranno poi affrontate le questioni della nuova legge di composizione delle velocità (che sostituisce la legge galileiana di addizione delle velocità), della nuova espressione della quantità di moto, dell’intimo legame tra massa e energia.
Tuttavia il procedimento deduttivo che ricava le nuove relazioni tra due sistemi di riferimento in moto reciproco direttamente dai postulati della Relatività può costituire un prezioso esercizio mentale dello studente che si abitua a considerare che non tutti gli aspetti della realtà sono intuitivi; ma la loro apparente stranezza o anche contraddittorietà possono essere superate attraverso l’applicazione di uno schema mentale e di una logica deduttiva che ristabiliscono, a un livello più elevato e profondo, l’ordine, la simmetria e la coerenza della realtà.

 

 

Lorenzo Mazzoni
(già docente di matematica e fisica al liceo scientifico, autore di libri di testo)

 

 

Indicazioni bibliografiche

  1. A.Einstein, Elettrodinamica dei corpi in movimento,1905, in Opere scelte, Boringhieri, Torino 1988.
  2. A.Einstein, Relatività, esposizione divulgativa,1917 in Opere scelte, Boringhieri, Torino 1988.
  3. A.Einstein, Come io vedo il mondo, Newton Compton, Roma 1975 (Prima edizione 1956).
  4. A.Einstein e L.Infeld, L’evoluzione della Fisica, Boringhieri, Torino1965.
  5. Clement V. Durell, La relatività con le quattro operazioni, Boringhieri, Torino 1966.
  6. P.Marazzini, M.E.Bergamaschini, L.Mazzoni, Fisica – fenomeni, leggi, esperimenti, Vol. E, Minerva Scuola, Milano 2012.

 

 

 

 

© Pubblicato sul n° 44 di Emmeciquadro




© RIPRODUZIONE RISERVATA

I commenti dei lettori