SCIENZ@SCUOLA/ Le prove «INVALSI 2012» alla Secondaria di Primo Grado: uno sguardo in controluce

Un’analisi attenta da parte di un docente che intende l’insegnamento della matematica come un’occasione di educazione al retto pensare, nel rispetto dello statuto proprio della disciplina.

26.09.2012 - Andrea Gorini
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Le prove INVALSI di matematica e italiano continuano a suscitare nei media interventi a volte adeguati, ma più spesso inadeguati, perché frutto di incompetenza e – purtroppo a volte anche da parte di docenti – di concezioni distorte sul «come e che cosa» è opportuno insegnare nei diversi livelli scolari. Evitando le inutili e ripetute polemiche sulle prove di matematica, l’autore presenta un’analisi accurata della Prova Nazionale 2012 e attraverso una lettura in controluce offre uno spaccato interessante della struttura complessiva della prova stessa e degli obiettivi specifici dei singoli quesiti. Un contributo che introduce possibili future riflessioni su come sia possibile educare le capacità logico-argomentative sin dagli anni del cosiddetto primo ciclo, per ovviare la difficoltà trasversale di organizzazione del pensiero, comune agli ambiti linguistico e matematico.

Trascorso ormai qualche mese dallo svolgimento all’interno dell’Esame di Stato del primo ciclo della Prova Nazionale predisposta dall’Invalsi e spenti i clamori che anche quest’anno l’hanno accompagnata, cerchiamo di analizzarne più a fondo i contenuti, dando uno sguardo più da vicino ai quesiti proposti, senza affrontare in maniera approfondita l’analisi dei risultati, ma cogliendo solo alcune segnalazioni che troviamo nel documento Prime evidenze del rapporto tra voto della prova nazionale e apprendimenti in italiano e matematica, disponibile sul sito dell’Invalsi. In attesa che arrivino alle scuole i risultati può essere utile consultare anche il Rapporto Nazionale sulla rilevazione degli apprendimenti 2011-12 e Le caratteristiche tecniche delle Prove INVALSI 2012, pubblicati il 20 luglio e disponibili sullo stesso sito (cliccare sul titolo dei documenti qui riportati per accedere ad essi). 

Come si può ricavare dai due Rapporti citati e dalla griglia di correzione, diversi sono i modi con cui si possono classificare i quesiti; in questa sede privilegiamo l’appartenenza all’ambito: Numeri, Dati e previsioni, Relazioni e funzioni, Spazio e figure.
Per una lettura più efficace nel riquadro che segue richiamiamo gli aspetti essenziali della struttura della Prova analizzata in questa sede.

La composizione della prova

La prova è composta da 25 quesiti, alcuni dei quali presentano più di una richiesta. Complessivamente conteggiate singolarmente si hanno 46 domande o item, che possono essere classificate in diversi modi; conformemente al Quadro di riferimento, le domande coprono quattro diversi nuclei tematici, Numeri, Spazio e figure, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni, cui corrispondono rispettivamente 16, 11, 10 e 9 item e sono costruite per saggiare otto diversi processi cognitivi, che nell’analisi dei risultati stilata nel Rapporto sono stati raccolti in quattro macroprocessi, Concetti e procedure, Rappresentazioni, Modellizzazione, Argomentazione; per essi si trovano rispettivamente 18, 6, 15 e 7 item.
Per quanto riguarda la formulazione e il tipo di risposta prevista gli item invece si suddividono in domande a scelta multipla (se ne contano 20), domande a scelta multipla complessa, (4 e 22), a risposta aperta ulteriormente suddivise in due categorie, 19 a riposta univoca, 3 a risposta articolata, nelle quali in genere viene richiesto di scrivere un calcolo o un procedimento oppure di giustificare una risposta o una scelta. È importante sottolineare che oltre la metà delle domande sono a risposta aperta; queste diversamente dalle domande a scelta multipla presentano il vantaggio di scoraggiare le risposte casuali e sono più vicine alle tradizionali pratiche didattiche.
Per l’attribuzione del voto i quesiti sono stati suddivisi in tre blocchi, indicati con le lettere A, B e C, il primo contiene le domande relative alle conoscenze e abilità di base ed è composto da 20 domande, il secondo contiene 15 domande di livello intermedio, il terzo è volto al livello avanzato e raccoglie le restanti 5 domande. Il totale dei quesiti in questo caso risulta essere 40, inferiore al numero degli item, perché per due quesiti, E2 e E21, composti ciascuno da 4 item, la valutazione è stata effettuata tenendo conto complessivamente di tutte le risposte.
Gli esercizi che appartengono al livello di base sono costituiti in maggioranza da quesiti relativi ai processi di Concetti e procedure (9) e Modellizzazione (7), 4 di essi invece sono relativi al processo di Rappresentazioni. Nel livello intermedio scendono drasticamente i quesiti relativi al processo Concetti e procedure, se ne contano solo 3, la maggioranza (8) sono relativi al processo Modellizzazione, (2) sono relativi al processo Rappresentazioni e compaiono infine 2 quesiti relativi al processo Argomentazione. Nel livello avanzato troviamo solo quesiti relativi a quest’ultimo processo.
Osservando questi dati ci si rende conto che gli estensori del fascicolo sono stati chiamati ad assemblare un puzzle di non facile composizione.

 

Numeri

 

Per quanto riguarda i Numeri la prova propone 16 item, ovvero domande singole, in maggioranza relative al livello base, alcune delle quali sono raggruppare in un unico quesito, come per esempio nel quesito E2:

A tema del quesito è la radice quadrata: in esso, nella forma Vero o Falso, sono proposte quattro uguaglianze che chiedono non tanto di calcolare dei valori e svolgere delle operazioni quanto di riconoscere proprietà vere o smascherare false proprietà, come per esempio la linearità dell’operazione nel caso della prima uguaglianza. Questo esercizio, come si legge nel documento Prime evidenze del rapporto tra voto della prova nazionale e apprendimenti in italiano e matematica, è risultato discriminante dei diversi livelli di apprendimento: «Gli studenti con voto sei ottengono su tutti e quattro gli item una percentuale di risposte superiore al 50%; al voto otto si ha già una buona padronanza (oltre il 75% su tutti gli item)».
Dello stesso tenore l’esercizio E21:

Il tema dell’esercizio non è la capacità operativa quanto il legame tra la moltiplicazione e le potenze in base dieci che intervengono nella modifica della scrittura dei numeri sottoforma di spostamento della virgola. Sempre legato ai numeri decimali è il quesito E20: per rispondere alla prima domanda è sufficiente la stima di alcune differenze di misure di lunghezza espresse da numeri decimali, per rispondere alla seconda occorre attenzione per usare correttamente i dati assegnati in una tabella (la richiesta è determinare una distanza), per rispondere alla terza è necessario riflettere sul legame tra distanza e velocità. La seconda e la terza domanda sono riferite al livello intermedio.
Anche gli altri quesiti di quest’ambito sono relativi ai numeri razionali; nel quesito E7 per esempio viene chiesto di inserire il numeratore di una frazione che rende vera una disuguaglianza, una situazione numerica decisamente facile. Il quesito E15 riguarda invece le percentuali ed è stato riproposto in un’altra veste in anni precedenti; esso tende a mettere in evidenza un’errata convinzione sulle percentuali: aumentando una quantità di una certa percentuale e togliendo alla quantità così ricavata la stessa percentuale non si ottiene la quantità iniziale.
Una parola in più merita l’esercizio E18, che si è rivelato un quesito di difficoltà medio-alta; in esso viene assegnato un trapezio isoscele, i 3/4 di un’altra figura, e si chiede di disegnare la figura intera, una richiesta inversa di quella che in genere viene proposta in classe e affrontata dai ragazzi con poca difficoltà. Significativo in questo caso è il tasso di risposte mancate legato, come si legge ancora nel documento Prime evidenze, a un basso livello di apprendimento: «Oltre la metà degli studenti con voto quattro non risponde, già tra quelli con voto cinque sono meno di un terzo».
Tra gli esercizi che sono risultati più difficili, appartenente anch’esso al livello intermedio, è il quesito E11, che chiede di individuare «la decima parte di 1020»: anche in questo caso il focus dell’esercizio non è il calcolo quanto la comprensione di un fatto numerico, espresso in forma verbale, che si può determinare attraverso un calcolo.
Possiamo concludere che negli esercizi relativi all’ambito Numeri l’attenzione è concentrata sugli aspetti legati al numero (in particolare incontriamo numeri razionali) e sulle proprietà delle operazioni, in continuità con quanto emerso nelle prove degli anni precedenti.

 

 

 

Dati e previsioni

 

 

Per l’ambito Dati e previsioni si contano 9 quesiti: al livello di base appartengono i quesiti E22, che richiede di ricavare dati da una rappresentazione grafica e da una tabella, ed E24, che chiede di determinare la media aritmetica di una serie di valori anche negativi. Tutti gli altri appartengono al livello intermedio, ad eccezione del quesito E3b. Significativo è risultato il quesito E3a

Nel quale si chiede di determinare il voto finale di un esame ricavandolo dai voti di due prove che hanno peso diverso; così leggiamo nel documento Prime evidenze: «La domanda E3a, del blocco B (domande riferite ai livelli di competenza medi e medio-alti), riporta fino al voto sette una crescita moderata delle risposte corrette; a partire dal voto otto la crescita è molto più rapida. Il processo che deve venire attivato, per rispondere, corrisponde infatti a una competenze di livello elevato: lo studente non ha a disposizione una formula per la risposta, e deve costruire la procedura che fornisce la soluzione.

La percentuale di risposte corrette per gli studenti con voto quattro risulta del 25% (si trattava di un item a risposta chiusa con 4 opzioni), e fino al voto sei la percentuale si discosta di poco, cresce leggermente col voto sette e diventa significativa solo dall’otto in poi». Da notare che la prima domanda del quesito E3, a scelta multipla, è risultata più difficile della seconda, una domanda a risposta aperta, che appartiene al livello avanzato: nella seconda viene richiesta la valutazione qualitativa del processo in esame, che può essere espressa anche in forma verbale e di sicuro poteva essere compresa intuitivamente; nella prima viene richiesta invece una valutazione quantitativa, che doveva essere ricavata autonomamente.
Gli altri quesiti dell’ambito riguardano ancora gli indici statistici: in E10 la media e curiosamente la mediana, e in E19 la probabilità. Nella prova dell’anno scorso il quesito sulla probabilità era risultato uno dei più difficili; in esso era richiesto di formulare un modello, non banale se non conosciuto, sul lancio di due monete: nella prova di quest’anno il quesito E19 è costituito da due parti, nella prima si chiedeva di completare una tabella che rappresenta un modello per una situazione di incertezza, nella seconda di determinare la probabilità di un evento e ha incontrato meno difficoltà.

 

 

 

Relazioni e funzioni

 

 

L’ambito Relazioni e funzioni prevede 10 item. Il quesito E4 è articolato in tre diverse domande che pongono richieste molto diverse tra loro. La prima, del livello di base, chiede di applicare una formula assegnata sostituendo dei valori assegnati esplicitamente; è una domanda a risposta multipla in cui le opzioni di risposta sono possibili valori approssimati del valore da ricavare; la seconda chiede di inserire un dato in una rappresentazione grafica, la terza di ricavarne un dato.
Anche questo quesito secondo il documento Prime evidenze si è rivelato importante: «La domanda E4 (item b e c in particolare) permette di descrivere la competenza nell’utilizzare rappresentazioni grafiche di dati. […] L’item c ottiene sempre (tranne per una piccola differenza per gli studenti con voto dieci) un risultato migliore: ma le due abilità sono molto diverse in quelli con voto insufficiente (per quelli con voto quattro un 50%), mentre la differenza è molto bassa (meno del 10%) già al voto sei. Il livello di sufficienza individua la competenza di gestione di una rappresentazione grafica in entrambe le direzioni».
Il quesito E17 è articolato in tre richieste relative alla stessa situazione:

La prima richiesta è completare una tabella che mostra la corrispondenza tra il numero degli spettacoli e il costo complessivo, la seconda di individuare l’espressione che descrive la relazione tra le due variabili e la terza di riconoscerne il grafico. Significativo il fatto che tutte e tre le richieste appartengono al livello di base, anche la seconda in cui si chiede di trovare una formula e non più semplicemente di usarla.
Il quesito E23 è riferito a una trasformazione per similitudine, una fotografia 10 x 15 viene ingrandita in modo che dopo la trasformazione il lato maggiore misuri 18 cm e si chiede di determinare la misura dell’altro lato: un semplice esercizio sulle proporzioni. Di tema analogo il quesito E9, in cui si chiede di lavorare su una mappa; la prima domanda chiede di ricavare la lunghezza di una strada: i risultati sono stati meno brillanti di quelli relativi al quesito precedente, a mio avviso per la difficoltà che molti ragazzi dimostrano nell’usare correttamente il rapporto di scala. La seconda domanda, di livello avanzato, chiede invece di descrivere che cosa succede modificando la scala della mappa e ha dato esiti più positivi della prima domanda, forse perché la risposta andava scelta tra quattro diverse opzioni.
Abbiamo lasciato per ultimo il quesito E5, che appartiene al livello intermedio ed è classificato per quanto riguarda i processi nella categoria Argomentazione.

Il quesito propone alcune affermazioni a proposito di un’espressione algebrica di carattere generale; è significativo che, anche in ambito algebrico, come abbiamo visto in precedenza per l’ambito numerico, l’attenzione non è concentrata sul calcolo ma sul significato dell’espressione. Poiché si tratta di espressione con una lettera si indaga la capacità da parte degli alunni di gestire una generalizzazione, facendo attenzione al significato della lettera, ai valori che può assumere: l’opzione C per esempio va scartata perché dall’espressione non si può ricavare la moltiplicazione 3 x 5.

 

 

 

Spazio e figure

 

 

L’ambito Spazio e figure presenta sia l’esercizio più facile (E1), azzeccato da quasi tutti gli alunni, sia il più difficile (E14), composto da due domande, nella prima delle quali bisogna determinare l’area del quadrato inscritto, attraverso il teorema di Pitagora o per differenza.

Molti alunni hanno dato una risposta che non è stata considerata corretta perché trovata con un’applicazione «scolastica» del teorema di Pitagora: con i dati in possesso relativamente al triangolo AML hanno trovato la misura approssimata dell’ipotenusa, che successivamente hanno elevato al quadrato, ottenendo così un valore vicino a quello corretto, ma non quello corretto, che poteva essere determinato in maniera esatta, perché il quadrato ha una misura intera.
Nella seconda la richiesta era di stabilire quando l’area del quadrato inscritto è minima se viene ruotato e trasformato; anche questa è risultata una domanda discriminante come si legge ancora in Prime evidenze: «Un esempio di domanda che discrimina il voto otto è la E14: la competenza coinvolta è di tipo ancora più avanzato, perché si tratta di muovere e trasformare un oggetto conosciuto. Su questa domanda, la padronanza degli allievi è evidente per i voti nove e dieci. All’item b una percentuale di risposta alta si ha solo per gli studenti con voto dieci, pur essendo a risposta chiusa».
Altri due quesiti a carattere geometrico sono stati oggetto di osservazione nello stesso documento, E8 e E12. Il primo chiede di determinare un volume in una situazione reale anche se non quotidiana, la terra che viene rimossa da una macchina cilindrica per lo scavo della metropolitana; i risultati di questo esercizio sono commentati così: «Una domanda che invece discrimina il voto sette è la E8, in cui veniva presentata una situazione reale, con tutti i problemi di traduzione delle informazioni. Dal voto sette in poi le percentuali di risposta ai due item praticamente si sovrappongo, e i risultati sono decisamente migliori di quelli dei voti precedenti». Il secondo ha invece una formulazione più scolastica ed è risultato discriminante per la sufficienza; si tratta di lavorare con oggetti conosciuti, un trapezio inscritto in una circonferenza, e di determinarne una proprietà, il perimetro, ricavando dalla situazione illustrata in figura la misura del lato mancante.
Nella seconda parte della domanda si chiede di giustificare la prima risposta, una richiesta di argomentazione che appartiene al livello avanzato. Nella griglia di correzione si suggerisce di accettare anche la risposta «Ho misurato e ho visto che DC [il lato mancante] ha la stessa misura di CB [di misura nota]» a mio avviso in maniera inopportuna in quanto appare una giustificazione con argomenti troppo fragili.
I contenuti degli altri quesiti dell’ambito geometrico sono delle costanti, la similitudine nell’esercizio E16 e la simmetria nell’esercizio E25.
Chiudiamo il nostro percorso nella Prova nazionale analizzando il quesito E6, che appartiene all’ambito Spazio e figure ed è riferito al processo Argomentazione. Nei quesiti relativi a questo processo si chiede esplicitamente di «fare un ragionamento» o di «riconoscere il ragionamento» corretto

Il quesito in esame è interessante perché ha per oggetto l’area di figure piane senza riferimenti alle formule di calcolo. Osserviamo che è difficile per ragazzi di terza secondaria di I° grado individuare la risposta corretta per via algebrica, specie se non sono stati abituati a lavorare con le lettere per costruire formule: indichiamo con a la misura del segmento AB e con b quella del segmento BC, se per il triangolo BOC scegliamo come base il segmento BC, altezza del rettangolo, la sua altezza relativa è un segmento lungo quanto la metà della base BC del rettangolo e quindi si può scrivere l’area nella forma:

Questa è la relazione oggetto dell’esercizio, ma non esprime in maniera diretta l’equivalenza dei quattro triangoli come indicato nella risposta corretta C. Per mostrare tale equivalenza è sufficiente invece tracciare i segmenti che congiungono i punti medi dei lati opposti del rettangolo, in questo modo si può verificare direttamente che ciascuno dei quattro triangoli è formato da due triangoli rettangoli congruenti.

Un esercizio che suggerisce di lavorare sulle aree in modo diverso da quello usuale, in cui viene data la preponderanza agli aspetti numerici, introducendo invece un diverso punto di vista, più «visivo» e in ultima istanza più geometrico.

 

 

Andrea Gorini
(Docente di Matematica presso la Scuola Secondaria di Primo grado. Fondazione “San Girolamo Emiliani” di Corbetta (Milano))

 

 

 

 

© Pubblicato sul n° 46 di Emmeciquadro




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