Le terne pitagoriche sono le soluzioni intere positive x, y, z dell’equazione x2 + y2 = z2 e la loro storia si dispiega sugli ultimi quattro millenni. In questo articolo partiamo da una intrigante tavoletta babilonese del XIX secolo a.C., passiamo poi agli Elementi di Euclide (IV-III secolo a.C.) e a Diofanto di Alessandria (III-IV secolo), incontriamo Fermat (XVII secolo), e arriviamo ai teoremi di Sierpinski e Wiles nel XX secolo.
Il teorema di Pitagora è uno dei più famosi risultati della Matematica e ci dice che se in un triangolo rettangolo (v. Figura 1) indichiamo con a e b le lunghezze dei cateti e con c la lunghezza dell’ipotenusa, allora a2 + b2 = c2.
Quando a, b, c sono numeri interi positivi diciamo che (a, b, c) è una Terna Pitagorica. Se a, b, c sono coprimi (cioè mcd(a, b, c) = 1, dove mcd è il massimo comun divisore), diciamo che (a, b, c) è una Terna Pitagorica Primitiva. Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono terne pitagoriche primitive, mentre (6, 8, 10) è una terna pitagorica non primitiva, poiché 6, 8, 10 hanno 2 come divisore comune.
In questo articolo parleremo della storia delle terne pitagoriche e di alcune delle loro principali proprietà. Osserveremo i primi esempi di terne pitagoriche e, a partire da questi, ci porremo alcuni problemi, che in parte risolveremo. La lettura, come ogni lettura in cui si parla di Matematica, richiede un certo impegno, cioè un po’ di tempo, con carta e matita a portata di mano. Questo articolo può essere letto da studentesse/studenti del terzo o quarto anno della Scuola Secondaria Superiore di Secondo Grado.
In una terna pitagorica primitiva i numeri a e b non possono essere entrambi pari, altrimenti (poiché a2+b2 = c2) anche c sarebbe pari e quindi a, b e c sarebbero tutti divisibili per 2, dunque non coprimi. Inoltre a e b non possono essere entrambi dispari. Infatti, se fosse a = 2h + 1 e b = 2k + 1, allora c sarebbe pari (diciamo c = 2s), e avremmo
4s2 = c2 = a2 + b2 = (2h + 1)2 + (2k + 1)2 = 4 (h2 + h + k2 + k) + 2 = [un multiplo di 4] + 2 , ma il primo e l’ultimo termine non possono essere uguali, poiché un multiplo di 4 non può essere uguale a [un multiplo di 4] +2. Da ora in avanti supporremo a dispari e b pari.
La ricerca delle soluzioni intere positive dell’equazione x2 + y2 = z2 costituisce una delle più famose Equazioni Diofantee, che devono il loro nome a Diofanto di Alessandria (III secolo d.C.), vedi [17], e sono le equazioni polinomiali a coefficienti interi per le quali si cercano solo le soluzioni intere. Nel caso dell’equazione x2 + y2 = z2 siamo di fronte ad uno dei più antichi problemi matematici conosciuti, come testimonia una celebre tavoletta di argilla chiamata Plimpton 322.
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Giancarlo Travaglini (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano-Bicocca) – [email protected]
