L’articolo sintetizza la lezione svolta da Anna Paola Longo per l’associazione MA.P.ES. nell’ottobre 2024. Vi si vuole delineare come nell’apprendimento dell’aritmetica nella Scuola Primaria sia ben identificabile il cammino dall’esperienza verso l’astrazione che conduce alla formazione nei bambini dell’idea di numero. Il tema è trattato ampiamente nel testo La matematica e l’esperienza, di Anna Paola Longo e Andrea Gorini.
L’apprendimento dell’aritmetica fin dal suo inizio nella scuola primaria non è solo questione di acquisire meccanismi di calcolo e procedure algoritmiche. Si tratta piuttosto si dare fondamento alla facoltà di astrazione, che caratterizza il pensiero razionale degli esseri umani.
Le origini
Il primo incontro di ciascun bambino con i numeri accade già quando egli è piccolissimo e prende coscienza del suo corpo (ho due mani, due piedi, cinque dita per mano…), memorizzando la quantità associata alle parole: «uno, due, …». In seguito, si rafforza nei primi giochi in gruppo, nella vita in famiglia, poi nella Scuola dell’Infanzia il bambino impara altri numeri, legati all’esperienza diretta fatta con il suo corpo. Dell’esperienza che è alla base dell’apprendimento è parte importante il gioco, attuato da soli o con altri.
Quando entra nella Scuola Primaria, il bambino viene guidato progressivamente a trasferire la sua attenzione dai singoli numeri agli insiemi numerici: avviene qui il suo primo incontro con l’infinito, anche se spesso non esplicitato.
Tracciamo a grandi linee la traiettoria del cammino verso l’astrazione che si verifica nell’apprendimento degli insiemi numerici nella scuola primaria.
L’insieme dei numeri naturali
I primi numeri che si incontrano nella scuola primaria sono i numeri naturali, usati per contare insiemi «discreti» di oggetti. L’aggettivo «discreto» è un termine specifico della matematica, indica che ogni elemento dell’insieme è isolabile da tutti gli altri. In particolare per i numeri, ogni elemento ha un «successivo»: indicando con n un generico numero naturale, ogni numero naturale n ha un successivo che indichiamo con n+1.
La possibilità di associare a ogni numero naturale un nuovo numero naturale, il suo successivo, permette di concludere che l’insieme dei numeri naturali contiene infiniti elementi. Questo insieme in matematica lo si indica con la lettera N.
Sappiamo che tra due numeri naturali a e b si definiscono le due operazioni «dirette»: addizione (a + b = c) e moltiplicazione (a × b = d), sempre possibili, da cui si ottengono le operazioni «inverse»: per esempio, da 3 + 5 = 8, si passa a 8 – 3 = 5 e 8 – 5 = 3 e da 2×5 = 10 si passa a 10 : 2 = 5 e 10 : 5 = 2.
Osserviamo che in N non sempre è possibile la sottrazione, operazione inversa dell’addizione, per esempio 1 – 15 non è possibile; in generale, a – b è possibile se a > b; se poi a = b, è a – b = 0. Qui si aprirebbe la strada per definire un nuovo insieme numerico in cui sia sempre possibile la sottrazione, ma nella scuola primaria non si segue questa via.
Analoga situazione si presenta per la moltiplicazione: da 25 × 2 = 50 discendono 50 : 2 = 25 e 50 : 25 = 2, ma è impossibile per esempio, la divisione 50 : 3. Infatti, tra tutti i multipli di 3, troviamo 3 × 16 = 48 e 3 × 17 = 51, ma non troviamo il 50! Se esistesse un numero naturale a per cui valesse 3 × a = 50, dovrebbe essere 16 < a < 17, ma questo è impossibile in N.
Da qui nasce la definizione di «divisibilità» in N tra due numeri (naturali):
dati a e b naturali, a è divisibile per b se la divisione a: b dà resto zero (per esempio, 17 non è divisibile per 3, perché 17: 3 ha resto 2; dunque, i numeri divisibili per 3 sono solo i multipli di 3).
Ora, oltre a sapere che N è un insieme discreto e che ogni suo elemento ha un successivo, sappiamo anche che N è «illimitato». Osserviamo poi che i numeri naturali sono disposti uno dopo l’altro in una successione «crescente», cioè riconosciamo tra i numeri naturali un «ordine»: se n e m sono numeri naturali, n < n +1 e in generale n < n + m.
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Anna Paola Longo (già assistente di Analisi Matematica al Politecnico di Torino)
Graziella Visconti (già docente di Scuola Primaria)
