12-12-12/ Una giornata (o almeno 12 ore) per riflettere sulle meraviglie del “dodici”

- Mario Gargantini

Come sottolinea MARIO GARGANTINI, il dodici è il primo dei numeri abbondanti: con questo nome i matematici indicano quei numeri naturali che sono minori della somma dei loro divisori interi

orologio_R439 Ora legale (Infophoto)

Oggi è il 12-12- 12 e la circostanza è troppo allettante per non soffermarsi a parlare di questo numero “memorabile”, come l’ha chiamato qualche anno fa David Wells in un saggio dedicato a questo genere di numeri. Anzitutto bisogna dire che si tratta di un numero “abbondante”, anzi, è il primo dei numeri abbondanti: con questa denominazione i matematici indicano quei numeri naturali che sono minori della somma dei loro divisori interi (escludendo sé stessi); dodici lo è essendo inferiore a 16 = 1+2+3+4+6.
Nel primo centinaio di numeri ce ne sono 21 abbondanti e non sarà difficile al lettore rintracciarli: possiamo lasciare l’indizio che sono tutti numeri pari e hanno la caratteristica di avere una buona quantità di fattori primi. All’estremo opposto ci sono i numeri “difettivi”, che difettano di fattori primi e sono maggiori della somma dei loro fattori; è evidente che tutti i numeri primi, non avendo altri fattori che se stessi e l’1, sono difettivi; ma lo sono anche le loro potenze. Tra i due gruppi, ci sono dei numeri speciali detti “perfetti” che risultano uguali alla somma dei loro divisori: basterà citare il 6 e il 28, ricordando che 6 sono i giorni della Creazione e 28 è il mese lunare. Il 12 presenta poi altre curiosità: come il fatto di essere divisibile sia per la somma che per il prodotto delle sue cifre; o che il prodotto dei suoi divisori propri (2, 3, 4, 6) sia uguale al suo quadrato (144).
Forse la cosa più interessante circa il dodici è il suo utilizzo come base del sistema di numerazione che si chiamerà, appunto, duodecimale e che in alcuni casi si è posto in concorrenza col più spontaneo sistema decimale, lasciando ancora tracce nella cultura e in alcune tradizioni soprattutto europee. Certo il 12 non ha il vantaggio di potersi contare sulle dita ma ha quello di poter più facilmente rappresentare alcune parti frazionarie che nel sistema decimale danno numeri meno manipolabili: è più facile ottenere le terze, quarte e seste parti, come constatiamo quando indichiamo bimestri, trimestri e quadrimestri. Utilizzando la base 12 quindi scomparirebbero i numeri periodici nelle frazioni aventi come denominatore il 3 o un suo multiplo. D’altro canto ci sarebbe lo svantaggio nelle divisioni per 5 ma nella pratica sono molto più frequenti frazioni come 1/4, 1/3, 2/3, 3/4 che non 1/5 o 2/5.
Questi e altri vantaggi del sistema duodecimale hanno fatto sì che in passato ci sia stato un suo utilizzo mescolato a quello del sistema decimale. Ne restano evidenti testimonianze in alcune misure di lunghezza, peso o moneta tuttora, o fino a poco tempo fa, usate nei paesi britannici: 1 piede = 12 pollici; 1 libbra = 12 once; 1 scellino = 12 pence. Interessanti anche le tracce rimaste a livello lessicale: in inglese e in tedesco i numeri 11 e 12 hanno nomi specifici (“eleven/elf”; “twelve/zwölf”), mentre il suffisso “teen/zehn” si usa solo a partire dal numero 13. Vestigia storiche ancor più lontane si trovano nello stato ideale descritto da Platone con ampio ricorso al sistema duodecimale per monete, pesi, misure e sistemi elettorali; anche i romani hanno fatto spesso ricorso al dodici, tanto da coniare un termine apposito per “un dodicesimo” indicato come “uncia”, da cui è derivata l’oncia; l’uncia a sua volta poteva essere suddivisa in 24 parti più piccole denominate scrupoli. 

La derivazione più diffusa e più resistente del sistema duodecimale la troviamo nell’impiego, ancora attuale, della dozzina, celebre soprattutto per le uova ma utilizzata dagli inglesi in senso ancor più ampio. Più volte nella storia ci sono stati tentativi di proporre il cambiamento del sistema di numerazione da quello decimale al duodecimale: si sono costruite tavole pitagoriche in base 12 e si sono sviluppati metodi per eseguire operazioni aritmetiche in tale base. A metà del secolo scorso in America è stata anche fondata la Duodecimal Society, con lo scopo di studiare e diffondere l’impiego della base 12 e i suoi vantaggi. Una sostituzione è però impensabile e lo snellimento delle operazioni di calcolo ottenuto dalla diffusione dei computer contribuisce a renderla irrimediabilmente impossibile. Resta però il gusto e l’interesse per l’esplorazione di un mondo, quello dei numeri, che pensiamo non possa rivelarci particolari sorprese e invece continua a stupirci.
E la sorpresa si fa anche visiva se la stessa esplorazione va ad abbracciare le forme geometriche, magari in compagnia del grande Keplero che ha dedicato molti studi alle peculiarità dei poliedri. Basterà citare la stranezza del dodecaedro che riempie il volume di una sfera meglio di un icosaedro che ha un numero maggiore di facce (venti): il dodecaedro occupa il 66,5% del volume della sfera mentre l’icosaedro solo il 60,56%. Chi sa che qualche moderna archistar non ne ricavi il suggerimento per nuove e vantaggiose proposte edilizie.





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