SCIENZA&STORIA/ La Logica e lo Sviluppo Storico della Matematica

- Carlo Felice Manara

Le origini della matematica si perdono nel tempo, ma si può dire che la matematica sia nata con il pensiero greco. L’articolo delinea importanti tappe dello sviluppo del pensiero matematico.

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Il "Matematico". Miniatura dal "Computus correctorius" di R. Grossatesta. XIII secolo - Londra, British Library.

Vengono delineate alcune tappe dello sviluppo storico del pensiero matematico, che sono particolarmente importanti perché hanno rappresentato un aumento di consapevolezza a riguardo della struttura logica che caratterizza la matematica. Ripercorrerle significa anche per noi comprendere più a fondo alcuni nodi concettuali che hanno una forte influenza nell’impostazione del lavoro didattico.

Il pensiero greco all’origine della matematica scientifica

Per usare una frase fatta, si potrebbe dire che le origini della matematica si perdono nella notte dei tempi. Infatti presso moltissime popolazioni antiche si hanno tracce dell’uso di convenzioni per rappresentare i numeri e per eseguire operazioni aritmetiche: si hanno documenti di una matematica cinese, di una indiana, di una matematica maya, e di una matematica egiziana e di una assiro-babilonese.
Ma credo si possa affermare che la matematica degna di questo nome sia nata con il pensiero greco: infatti soltanto presso i greci incontriamo enunciati astratti e generali, la cui certezza è stabilita da dimostrazioni, cioè da procedure logiche ineccepibili. A prova di questa affermazione, ricordiamo alcune dimostrazioni che sono all’inizio della matematica scientificamente considerata.
Una è la dimostrazione della esistenza di coppie di segmenti incommensurabili tra loro(1), come per esempio il lato e la diagonale di un medesimo quadrato. È questa una conseguenza del teorema detto «di Pitagora»; ed è stato osservato che il contenuto della proposizione potrebbe essere presentato dicendo che, comunque si divida la diagonale di un quadrato in parti uguali, per quanto piccole e quindi numerose esse siano, è impossibile ricostruire il lato con un numero intero di esse. Pertanto questa dimostrazione rappresenta una innegabile prova della supremazia della logica sulla esperienza concreta. Infatti l’esperienza concreta su oggetti materiali mostra che la materia è costituita da particelle elementari.
Un secondo esempio di proposizione in cui la deduzione logica supera ogni possibilità di verifica materiale è fornito dalla classica proposizione n. 20 del IX libro degli Elementi di Euclide, con cui si dimostra che il numero dei numeri primi è infinito.(2)
Un terzo esempio di procedure logiche ineccepibili è fornito dalla classica dimostrazione per assurdo del cosiddetto «secondo criterio di uguaglianza dei triangoli»; dimostrazione che viene riportata abitualmente in molti manuali, e che si incontra già negli Elementi di Euclide (Libro I, Prop. 6)(3). Come è noto, in tale dimostrazione si utilizza lo schema classico: «Se dalla negazione di una proposizione A si deduce una proposizione B, e la B risulta falsa, allora la A è vera.»

Il metodo della matematica. Analisi e sintesi

Il trattato degli Elementi di Euclide, che abbiamo citato, costituisce il primo esempio storico di opera scientifica rigorosa. Si potrebbe dire, senza esagerare, che esso è un grandioso monumento dello spirito umano, e testimonianza di una civiltà scientifica di grande livello.
Si aggiunga che la matematica greca non soltanto ha raggiunto vette altissime per quanto riguarda i contenuti, ma ha anche saputo riflettere sulle procedure che conducono alla dimostrazione rigorosa, e alla soluzione dei problemi. Infatti troviamo descritti, fin dall’epoca di Euclide, e poi, in età alessandrina, esplicitamente codificati i due momenti fondamentali, chiamati analisi e sintesi, che conducono la nostra mente alla scoperta ed al possesso sicuro della verità.
Tali procedure ancora oggi (talvolta sotto nomi strani e in lingua straniera: capita infatti di leggere espressioni come top down e bottom up per indicare operazioni che potrebbero benissimo essere descritte nella nostra lingua) rimangono gli strumenti fondamentali per l’argomentazione rigorosa, in particolare per l’argomentazione matematica.
Scrive Euclide: «[Si chiama] analisi un procedimento in cui si ammette come vera una certa proposizione [che si vuole dimostrare] e si deduce da questa ipotesi una serie di conseguenze fino a giungere a qualche proposizione che è evidente, oppure è stata ammessa come vera. [Si chiama] sintesi il procedimento con il quale, partendo da certe proposizioni accettate, si giunge ad una proposizione che si vuole dimostrare.»

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Carlo Felice Manara
(Professore Emerito di Geometria presso l’Università degli Studi di Milano)

  1. Cfr.: S. Maracchia, La crisi degli incommensurabili, in: Emmeciquadro n. 2, giugno 1998.
  2. Cfr.: A. Frajese e L. Maccioni (a cura di), Gli Elementi di Euclide, Utet, Torino 1960.
  3. 3Id, pp. 87 sg.

© Pubblicato sul n° 05 di Emmeciquadro 



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